已知关于x的方程x2−(k+1)x+1/4k2+1=0的两根是一个矩形两边的长. (1)k取何值时,方程存在两个正实数根? (2)当矩形的对角线长是5时,求k的值.

问题描述:

已知关于x的方程x2−(k+1)x+

1
4
k2+1=0的两根是一个矩形两边的长.
(1)k取何值时,方程存在两个正实数根?
(2)当矩形的对角线长是
5
时,求k的值.

(1)设方程的两根为x1,x2
则△=(k+1)2-4(

1
4
k2+1)=2k-3,
∵方程有两个实数根,∴△≥0,即2k-3≥0,①
k+1>0,②
1
4
k2>0
    ③
∴综上可知k≥
3
2

∴当k≥
3
2
,方程有两个正实数根.
(2)由题意得:
x1+x2=k+1
x1x2
1
4
k2+1

又∵x12+x22=5,即(x1+x22-2x1x2=5,
(k+1)2-2(
1
4
k2+1)=5,
整理得k2+4k-12=0,
解得k=2或k=-6(舍去),
∴k的值为2.