已知关于x的方程x2−(k+1)x+14k2+1＝0的两根是一个矩形两边的长．（1）k取何值时，方程存在两个正实数根？（2）当矩形的对角线长是5时，求k的值．
问题描述：
已知关于x的方程x2−(k+1)x+
k2+1＝0的两根是一个矩形两边的长．1 4
（1）k取何值时，方程存在两个正实数根？
（2）当矩形的对角线长是
时，求k的值．
5
答
知识点：解决本题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系和勾股定理，把问题转化为解方程求得k的值，本题解题的关键是根与系数的关系的应用．
（1）设方程的两根为x1，x2
则△=（k+1）2-4（
k2+1）=2k-3，1 4
∵方程有两个实数根，∴△≥0，即2k-3≥0，①
k+1＞0，②
k2＞0 ③1 4
∴综上可知k≥
3 2
∴当k≥
，方程有两个正实数根．3 2
（2）由题意得：
，
x1+x2＝k+1
x1x2＝
k2+11 4
又∵x12+x22=5，即（x1+x2）2-2x1x2=5，
（k+1）2-2（
k2+1）=5，1 4
整理得k2+4k-12=0，
解得k=2或k=-6（舍去），
∴k的值为2．
答案解析：（1）根据一元二次方程根的判别式，方程有两个正实数根，则判别式△≥0，且两根的和与积都是正数，得出关于k的不等式组，求出k的取值范围．
（2）根据勾股定理得到的两根的平方和与根与系数的关系得出关于k的方程，求出k的值并检验．
考试点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．
知识点：解决本题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系和勾股定理，把问题转化为解方程求得k的值，本题解题的关键是根与系数的关系的应用．