n是自然数,当n趋于无穷大时,求[n·tan(1/n)]^(n^2)的极限
问题描述：
n是自然数,当n趋于无穷大时,求[n·tan(1/n)]^(n^2)的极限
james_miao的详细解答，但正确答案确实是e^(1/3)...
答
为了计算方便,令x=1/n,则n趋于无穷时,x趋于0,原式变形为求（tanx/x)^(1/x^2)的极限
而原式=lim e^[(1/x^2)*ln(tanx/x)]
这样,我们只需要求出x趋于0时,指数部分[(1/x^2)*ln(tanx/x)]的极限即可
观察ln(tanx/x)/(x^2),属0/0型,运用洛比达法则
lim ln(tanx/x)/(x^2)=lim [x*(secx)^2-tanx]/[2tanx*(x^2)],
0/0型,洛比达
lim [x*(secx)^2-tanx]/[2tanx*(x^2)]=lim [x*tanx*(secx)^2]/[2xtanx+x^2*(secx)^2]
分子分母同时除以x*(secx)^2,得
原式=lim [tanx]/[sin2x+x]
=lim [（secx）^2]/[2cos2x+1](洛比达)
=1/3
即x趋于0时,[(1/x^2)*ln(tanx/x)]的极限为1/3,lim e^[(1/x^2)*ln(tanx/x)]=e^(1/3)
所以当n趋于无穷大时,[n·tan(1/n)]^(n^2)的极限为e^(1/3)
……不知道有没手误打错了,