双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e的取值范围．
问题描述：
双曲线
−x2 a2
＝1(a＞0，b＞0)的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e的取值范围． y2 b2
答
设M（x0，y0）是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F2的距离等于它到左准线的距离|MN|，
即|MF2|=|MN|，再由双曲线定义可知
＝e|MF1| |MN|
∴
＝e，|MF1| |MF2|
由焦点半径公式得
＝eex0+a ex0−a
∴x0=
，a(1+e)
e2−e
而 x0≥a
∴
≥a，即 e2-2e-1≤0，解得1−a(1+e)
e2−e
≤e≤
2
+1，
2
但 e＞1 ∴1＜e≤
+1，即离心率e的取值范围是（1，
2
+1]．
2