在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosA=1/3.(1)求cos²[﹙B+C)／2]+cos2A的值 （2）若a=2,c=3／2,求角C的大小
问题描述：
在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosA=1/3
.(1)求cos²[﹙B+C)／2]+cos2A的值 （2）若a=2,c=3／2,求角C的大小
答
1、 cos²[﹙B+C)／2]+cos2A
=cos²[(180°-A)/2]+cos2A
=cos²[90°-A/2]+2cos²A-1
=sin²A/2+2cos²A-1
=[√(1-cosA)/2]²+2cos²A-1
=[(1-cosA)/2]+2cos²A-1
=[(1-1/3)/2+2×(1/3)²-1
=1/3+2/9-1
=5/9-1
=-4/9
2、cosA=1/3，
∴在△中sinA=√（1-1/9）=2√2/3
∴正弦定理：a/sinA=c/sinC
sinC=sinA×c/a=(2√2/3×3/2)/2=√3/2
∴C=60°或120°
答
⑴(B+C)/2=(180°-A)/2=90°-A/2,
∵cosA=2(cosA/2)^2-1,∴cosA/2=√6/3,∴sinA/2=√3/3
cos2A=2(cosA)^2-1=2×(1/3)^2-1=-7/9,
∴原式=(sinA/2)^2+cos2A=1/3-7/9=-4/9.
⑵∵1/2