求当x趋近于a时,(sin x - sin a) / (x - a)的极限
问题描述：
求当x趋近于a时,(sin x - sin a) / (x - a)的极限
答
这个是0/0型极限，应该用罗必达法则，分子分母同时对x求导，求导后分子为cosx，分母为1，当x趋近于a时，极限为cosa
答
lim(x->a)(sinx - sina)/(x-a)
(0/0型,使用洛必达法则)
lim(x->a)(sinx - sina)/(x-a)=lim(x->a)cosx/1=lim(x->a)cosx=cosa
(x->a表示x趋于a,(sinx - sina)'=cosx,(x-a)'=1)
答
方法一：利用洛必达法则
lim [(sin x - sin a)/(x - a)]
x→a
=lim [(sin x - sin a)′/(x - a)′]
x→a
=lim cosx
x→a
=cosa
方法二：先用和差化积公式,后用等价无穷小代换
lim [(sin x - sin a)/(x - a)]
x→a
=lim {2cos[(x+a)/2]·sin[(x-a)/2]/(x - a)}
x→a
=lim {2cos[(x+a)/2]·[(x-a)/2]/(x - a)}
x→a
=lim cos[(x+a)/2]
x→a
=cosa