已知函数y=x3+ax2+bx+c的图象过点P(1,2).过P点的切线与图象仅P点一个公共点,又知切线斜率的最小值为2,求f(x)的解析式.

问题描述:

已知函数y=x3+ax2+bx+c的图象过点P(1,2).过P点的切线与图象仅P点一个公共点,又知切线斜率的最小值为2,求f(x)的解析式.

y'=3x2+2ax+b f'(1)=3+2a+b
过P点切线方程y-2=(3+2a+b)(x-1) 与y=x3+ax2+bx+c联立,
并注意到曲线过点P(1,2)知a+b+c=1
x3+ax2-(3+2a)x+2+a=0 即(x-1)(x2+(a+1)x-2-a)=0
令(a+1)2+4(2+a)=(a+3)2≤0 知a=-3.
b-

(2a)2
4×3
=2,∴b=5,c=1-5+3=-1.
∴f(x)=x3-3x2+5x-1