抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为B(-1,m)(m≠0),并且经过点A(-3,0).(1)求此抛物线的解析式(系数和常数项用含m的代数式表示);(2)若由点A、原点O与抛物线上的一点P所构成的三角形是等腰直角三角形,求m的值.

问题描述:

抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为B(-1,m)(m≠0),并且经过点A(-3,0).
(1)求此抛物线的解析式(系数和常数项用含m的代数式表示);
(2)若由点A、原点O与抛物线上的一点P所构成的三角形是等腰直角三角形,求m的值.

(1)抛物线的顶点为B(-1,m),
因此,对称轴是直线x=-1.
即-

b
2a
=−1
即有2a=b.①(1分)
又抛物线过点A(-3,0),B(-1,m),得
9a-3b+c=0,②
a-b+c=m③(2分)
解由①、②、③所组成的方程组,得
a=-
m
4
,b=-
m
2
,c=
3
4
m

∴所求解析式为y=-
m
4
x2-
m
2
x+
3
4
m
(4分)
(2)分两种情况讨论:
①PA是等腰直角三角形AOP的斜边,
此时OA=OP,又a>0,
∴点P的坐标为(0,-3).
将x=0,y=-3代入y=-
m
4
x2-
m
2
x+
3
4
m
中,
得m=-4.(6分)
②OA是等腰直角三角形AOP的斜边.
此时PA=PO,则可求得P(-
3
2
,-
3
2

将x=-
3
2
,y=-
3
2
代入y=-
m
4
x2-
m
2
x+
3
4
m
中,
得m=-
8
5

∴m的值为-4或-
8
5
(8分)
答案解析:(1)以m为已知数,用待定系数法求解析式;
(2)△POA为等腰直角三角形,分情况进行讨论:①PA是等腰直角三角形AOP的斜边,②OA是等腰直角三角形AOP的斜边.
考试点:待定系数法求二次函数解析式;等腰直角三角形.

知识点:本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法,同时还考查了分类讨论思想,难度较大.