F1，F2 是椭圆x29+y27＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则△AF1F2的面积为 ___ ．
问题描述：
F1，F2 是椭圆
+x2 9
＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则△AF1F2的面积为 ___ ． y2 7
答
知识点：本题给出椭圆的焦点三角形满足的条件，求三角形的面积．着重考查了椭圆的定义与标准方程、余弦定理和三角形的面积公式等知识，属于中档题．
由题意，可得
∵椭圆的方程为
+x2 9
=1，y2 7
∴a=3，b=
，可得c=
7
=
a2-b2
，
2
故焦距|F1F2|=2
，
2
∵根据椭圆的定义，得|AF1|+|AF2|=2a=6，
∴△AF1F2中，利用余弦定理得
|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|•|F1F2|cos45°=|AF2|2=|AF1|2-4|AF1|+8，
即（6-|AF1|）2=|AF1|2-4|AF1|+8，解之得|AF1|=
7 2
故△AF1F2的面积为S=
|AF1|•|F1F2|sin45°=1 2
×1 2
×27 2
×
2
=
2
2
．7 2
答案解析：根据椭圆的方程算出a=3、b=
，可得焦距|F1F2|=2
7
，由椭圆的定义得|AF2|=6-|AF1|．由此在△AF1F2中利用余弦定理解出|AF1|长，根据正弦定理的面积公式即可算出△AF1F2的面积．
2
考试点：椭圆的简单性质．
知识点：本题给出椭圆的焦点三角形满足的条件，求三角形的面积．着重考查了椭圆的定义与标准方程、余弦定理和三角形的面积公式等知识，属于中档题．