已知函数f(x)＝1/3ax3−x2+2，x∈R． （Ⅰ）若a=3，求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程； （Ⅱ）若对任意的x∈[-1，2]，都有f（x）>0恒成立，求a的取值范围．
问题描述：
已知函数f(x)＝
ax3−x2+2，x∈R．1 3
（Ⅰ）若a=3，求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意的x∈[-1，2]，都有f（x）>0恒成立，求a的取值范围．
答
由a≥1得，f(
)＝
>0．
∴只需f(−1)＝
>0且f(2)＝
>0，解得1≤a<3
（3）
>2，即0<a<1时，
0<a<1时，f(−1)＝
>0，只需f(2)＝
>0，解得
<a<1
（4）a<0时，f(2)＝
<0，不符合题意．
综上，
<a<3．
（Ⅰ）a=3时，f（x）=x3-x2+2，f（2）=6，f'（x）=3x2-2x，f'（2）=8，
∴切线方程为：y=8x-10
（Ⅱ）f'（x）=x（ax-2），
（1）a=0时，f'（x）=-2x，f（2）=-2<0，不符合题意，所以a≠0；
（2）f'（x）=x（ax-2）=0，x=0或
，2 a
当0<
≤2，即a≥1时，2 a
| x | -1 | （-1，0） | 0 | (0，
|
| (
| 2 | ||||||
| f'（x） | + | 0 | _ | 0 | + | ||||||||
| f（x） |
| 增 | 极大值2 | 减 | 极小值
| 增 |
|
| 2 |
| a |
| 2(3a2−2) |
| 3a2 |
∴只需f(−1)＝
| 3−a |
| 3 |
| 2(4a−3) |
| 3 |
（3）
| 2 |
| a |
| x | -1 | （-1，0） | 0 | （0，2） | 2 | ||||
| f'（x） | + | 0 | _ | ||||||
| f（x） |
| 增 | 极大值2 | 减 |
|
| 3−a |
| 3 |
| 2(4a−3) |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
（4）a<0时，f(2)＝
| 2(4a−3) |
| 3 |
综上，
| 3 |
| 4 |