【问题情境】 已知矩形的面积为a(a为常数,a>0),当该矩形的长为多少时,它的周长最小?最小值是多少? 【数学模型】 设该矩形的长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为y=2(x+a/x)(
问题描述:
【问题情境】
已知矩形的面积为a(a为常数,a>0),当该矩形的长为多少时,它的周长最小?最小值是多少?
【数学模型】
设该矩形的长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为y=2(x+
)(x>0).a x
【探索研究】
(1)我们可以借鉴以前研究函数的经验,先探索函数y=x+
(x>0)的图象和性质.1 x
①填写下表,画出函数的图象;
x | … |
|
|
|
1 | 2 | 3 | 4 | … | ||||||
y | … | … |
③在求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(小)值时,除了通过观察图象,还可以通过配方得到.请你通过配方求函数y=x+
1 |
x |
【解决问题】
(2)用上述方法解决“问题情境”中的问题,直接写出答案.
答
(1)①故答案为:
,17 4
,10 3
,2,5 2
,5 2
,10 3
.17 4
函数y=x+
的图象如图:1 x
②答:函数两条不同类型的性质是:当0<x<1时,y 随x的增大而减小,当x>1时,y 随x的增大而增大;当x=1时,函数y=x+
(x>0)的最小值是2.1 x
③y=x+
=1 x
=
x2+1 x
+2=
x2−2x+1 x
+2,(x−1)2
x
∵x>0,所以
≥0,(x−1)2
x
所以当x=1时,
的最小值为0,(x−1)2
x
∴函数y=x+
(x>0)的最小值是2.1 x
(2)答:矩形的面积为a(a为常数,a>0),当该矩形的长为
时,它的周长最小,最小值是4
a
.
a