【问题情境】 已知矩形的面积为a(a为常数,a>0),当该矩形的长为多少时,它的周长最小?最小值是多少? 【数学模型】 设该矩形的长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为y=2(x+a/x)(

问题描述:

【问题情境】
已知矩形的面积为a(a为常数,a>0),当该矩形的长为多少时,它的周长最小?最小值是多少?
【数学模型】
设该矩形的长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为y=2(x+

a
x
)(x>0).
【探索研究】
(1)我们可以借鉴以前研究函数的经验,先探索函数y=x+
1
x
(x>0)的图象和性质.
①填写下表,画出函数的图象;
x
1
4
1
3
1
2
1 2 3 4
y              
②观察图象,写出该函数两条不同类型的性质;
③在求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(小)值时,除了通过观察图象,还可以通过配方得到.请你通过配方求函数y=x+
1
x
(x>0)的最小值.
【解决问题】
(2)用上述方法解决“问题情境”中的问题,直接写出答案.

(1)①故答案为:

17
4
10
3
5
2
,2,
5
2
10
3
17
4

函数y=x+
1
x
的图象如图:
②答:函数两条不同类型的性质是:当0<x<1时,y 随x的增大而减小,当x>1时,y 随x的增大而增大;当x=1时,函数y=x+
1
x
(x>0)的最小值是2.
③y=x+
1
x
=
x2+1
x
=
x2−2x+1
x
+2=
(x−1)2
x
+2,
∵x>0,所以
(x−1)2
x
≥0,
所以当x=1时,
(x−1)2
x
的最小值为0,
∴函数y=x+
1
x
(x>0)的最小值是2.
(2)答:矩形的面积为a(a为常数,a>0),当该矩形的长为
a
时,它的周长最小,最小值是4
a