在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,EF过点O,且AF⊥BC,求证:四边形AFCE是矩形.

问题描述:

在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,EF过点O,且AF⊥BC,求证:四边形AFCE是矩形.

证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴OA=OC,AE∥FC,
∴∠EAO=∠FCO,
在△AOE和△COF中,

∠EAO=∠FCO
AO=CO
∠AOE=∠COF

∴△AOE≌△COF,
∴AE=CF,
∴四边形AECF为平行四边形,
又∵AF⊥BC,
∴∠AFC=90°,
则四边形AECF为矩形.
答案解析:由四边形ABCD为平行四边形,得到对角线互相平分,可得出OA=OC,对边AE平行于FC,由两直线平行内错角相等得到一对角相等,再由对顶角相等,利用ASA可得出三角形AOE与三角形COF全等,根据全等三角形的对应边相等可得出AE=FC,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得出AECF为平行四边形,再由AF垂直于BC,得到∠AFC为直角,根据一个角为直角的平行四边形为矩形可得出AECF为矩形,得证.
考试点:矩形的判定;平行四边形的性质.
知识点:此题考查了平行四边形的判定与性质,矩形的判定,全等三角形的判定与性质,以及平行线的性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.