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已知实数a，b满足-1≤a≤1，-1≤b≤1，则函数y=13x3-ax2+bx+5有极值的概率（　　） A.14 B.12 C.23 D.34

分类: 作业答案 • 2022-04-30 14:48:54
问题描述：

已知实数a，b满足-1≤a≤1，-1≤b≤1，则函数y=

1
3
x3-ax2+bx+5有极值的概率（　　）
A.
1
4

B.
1
2

C.
2
3

D.
3
4

答

∵函数y=

1
3
x3-ax2+bx+5有极值
∴y′=x2-2ax+b，存在零点，
即x2-2ax+b=0有实数解，其充要条件是△=4a2-4b≥0．
即 a2≥b．
如图所示，区域-1≤a≤1，-1≤b≤1的面积（图中正方形所示）为4
2∫01（1-x2）dx=2×（x-
1
3
x2）|01=
4
3
，
而区域a2≥b，
在条件-1≤a≤1，-1≤b≤1下的面积（图中阴影所示）为：
2+2∫01x2dx=2+2×（
1
3
x2）|01=2+
2
3
=
8
3
．
所求概率为
8
3
4
＝
2
3
．
故选C．

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