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求与双曲线x216−y29＝1共渐近线且过A(23，−3)点的双曲线方程及离心率．

分类: 作业答案 • 2022-04-25 17:15:38
问题描述：

求与双曲线

x2
16
−
y2
9
＝1共渐近线且过A(2
 3
，−3)点的双曲线方程及离心率．

答

∵所求双曲线与双曲线

x2
16
−
y2
9
＝1共渐近线
∴设双曲线方程为：
x2
16
−
y2
9
＝λ(λ≠0)（3分）
又∵点A(2
 3
，−3)在双曲线上，∴λ＝
12
16
−
9
9
＝−
1
4
．…（8分）
可得所求双曲线方程为：
x2
16
−
y2
9
＝−
1
4
，
化成标准形式，得
y2
9
4
−
x2
4
＝1，从而a2=
9
4
，c2=
9
4
+4=
25
4
，
因此，离心率满足e2=
25
4
9
4
=
25
9
，解之得e＝
5
3
．…（12分）
答案解析：根据题意，设双曲线方程为：
x2
16
−
y2
9
＝λ(λ≠0)，将A点坐标代入可得λ=-
1
4
，代入所设方程再化成标准方程即可．再由所得双曲线的标准方程，不难求出双曲线的离心率．
考试点：双曲线的简单性质．
知识点：本题给出双曲线与已知双曲线共渐近线且过已知点，求双曲线的方程并求离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．

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