已知函数f(x)=x2-2x-8,若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.

问题描述:

已知函数f(x)=x2-2x-8,若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.

∵f(x)=x2-2x-8.当x>2时,f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立,
∴x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,即x2-4x+7≥m(x-1).
∴对一切x>2,均有不等式

x2−4x+7
x−1
≥m成立.
x2−4x+7
x−1
=(x-1)+
4
x−1
-2≥2
(x−1)•
4
x−1
−2=4−2=2
,(当x=3时等号成立).
∴实数m的取值范围是(-∞,2].