在公差不为零的等差数列{x(n)}和等比数列{y(n)}中,已知x1=1,且x1=y1,x2=y2,x6=y3.
问题描述：
在公差不为零的等差数列{x(n)}和等比数列{y(n)}中,已知x1=1,且x1=y1,x2=y2,x6=y3.
1.求数列{x(n)}的公差和数列{y(n)}的公比；
2.是否存在常数a,b,使得对于一切自然数n,都有x(n)=loga(yn)+b成立?若存在,求出a和b,若不存在,说明理由.
答
X1=y1=1
X2=y2, ==>x1+d=x1*q
X6=y3 ,==>x1+5d=x1*q*q
X1=1
1+d=q, ==>5+5d=5q
1+5d=q*q
上减下:4=5q-q*q ,==>q=1 or4
(1)q=1 ,则d=0 ;
(2)q=4,则d=3
又公差d不为0,所以q=4,d=3
2.
Xn=X1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2
Yn=Y1q^(n-1)=1*4^(n-1)=4^(n-1)
即3n-2=loga(4^(n-1))+b
3n-2=(n-1)loga(4)+b.
对于一切自然数成立,则取n=1得:
3-2=0+b,得b=1
即3n-2=(n-1)loga(4)+1
(n-1)loga(4)=3(n-1)
loga(4)=3
a=4^(1/3)
所以,存在a,b.且a=4^(1/3),b=1.