已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,数列{bn}满足bn=lnan,b3=18,b6=12,则数列{bn}前n项和的最大值为______.

问题描述:

已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,数列{bn}满足bn=lnan,b3=18,b6=12,则数列{bn}前n项和的最大值为______.

∵等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,
数列{bn}满足bn=lnan,b3=18,b6=12,
∴a3=a1q2=eb3=e18
a6a1q5=eb6=e12

a6
a3
=q3=
e12
e18
=e-6
解得q=e-2,a1=
a3
q2
=
e18
e−4
=e22
∴{an}的通项公式为ane22•(e−2)n−1=e24-2n
∵数列{bn}满足bn=lnan
bn=lne24−2n=24-2n,
当n=12时,bn=0
则当n≥12时,bn<0
∴{bn}的前n项和Sn取最大值时,n=12,
∴Sn的最大值是S12=
12
2
(b1+b12)
=6(24-2+24-24)=132.
故答案为:132.
答案解析:由已知条件推导出a3=a1q2=eb3=e18a6a1q5=eb6=e12,从而得到an=e24-2n,bn=24-2n,由此能求出{bn}的前n项和Sn的最大值.
考试点:等比数列的前n项和.
知识点:本题考查数列的前n项和的最大值的求法,是中档题,解题时要注意对数函数性质的灵活运用.