在正三棱锥S-ABC中,M、N分别为棱SC、BC的中点,且MN⊥AM,SA=23,则此三棱锥S-ABC外接球的表面积为______.

问题描述:

在正三棱锥S-ABC中,M、N分别为棱SC、BC的中点,且MN⊥AM,SA=2

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,则此三棱锥S-ABC外接球的表面积为______.

∵三棱锥S-ABC正棱锥,∴SB⊥AC(对棱互相垂直)∴MN⊥AC,又∵MN⊥AM而AM∩AC=A,∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC,∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°,将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球,∴2R=2 3•3,∴R=3,∴S=4...
答案解析:由题意推出MN⊥平面SAC,即SB⊥平面SAC,∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°,将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球,正方体的对角线就是球的直径,求出直径即可求出球的表面积.
考试点:球的体积和表面积.
知识点:本题是中档题,考查三棱锥的外接球的表面积,考查空间想象能力;三棱锥扩展为正方体,它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键.