在正三棱锥S-ABC中,M、N分别为棱SC、BC的中点,且MN⊥AM,SA=23,则此三棱锥S-ABC外接球的表面积为______.
问题描述:
在正三棱锥S-ABC中,M、N分别为棱SC、BC的中点,且MN⊥AM,SA=2
,则此三棱锥S-ABC外接球的表面积为______.
3
答
∵三棱锥S-ABC正棱锥,∴SB⊥AC(对棱互相垂直)∴MN⊥AC,
又∵MN⊥AM而AM∩AC=A,∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC,
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°,将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球,
∴2R=2
•
3
,∴R=3,∴S=4πR2=4π•(3)2=36π,
3
故答案为:36π.
答案解析:由题意推出MN⊥平面SAC,即SB⊥平面SAC,∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°,将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球,正方体的对角线就是球的直径,求出直径即可求出球的表面积.
考试点:球的体积和表面积.
知识点:本题是中档题,考查三棱锥的外接球的表面积,考查空间想象能力;三棱锥扩展为正方体,它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键.