在正三棱锥S-ABC中,侧棱SC⊥侧面SAB,侧棱SC=23,则此正三棱锥的外接球的表面积为______.

问题描述:

在正三棱锥S-ABC中,侧棱SC⊥侧面SAB,侧棱SC=2

3
,则此正三棱锥的外接球的表面积为______.

∵三棱锥S-ABC正棱锥且侧棱SC⊥侧面SAB,
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°,将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球,
∴2R=2

3
3
,∴R=3,∴S=4πR2=4π•(3)2=36π,
故答案为:36π.
答案解析:由题意推出SC⊥平面SAB,∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°,将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球,正方体的对角线就是球的直径,求出直径即可求出球的表面积.
考试点:球内接多面体.
知识点:本题是中档题,考查三棱锥的外接球的表面积,考查空间想象能力;三棱锥扩展为正方体,它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键.