过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,当△ABC的面积最小时,求直线l的方程.
问题描述:
过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,当△ABC的面积最小时,求直线l的方程.
答
设点 A(a,0)B (0,b)(a,b>0)则直线l的方程为
+x a
=1,y b
由题意,点 (1,2)在此直线上,所以
+1 a
=1,2 b
由基本不等式,
得1=
+1 a
≥22 b
,
2 ab
∴ab≥8,
于是S△AOB=
ab≥4 当且仅当 1 2
=1 a
,2 b
即a=2,b=4时,取“=”,
因此,△AOB的面积最小时,
直线l的方程为
+x 2
=1,即2x+y-4=0.y 4