过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,当△ABC的面积最小时,求直线l的方程.

问题描述:

过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,当△ABC的面积最小时,求直线l的方程.

设点 A(a,0)B (0,b)(a,b>0)则直线l的方程为

x
a
+
y
b
=1,
由题意,点 (1,2)在此直线上,所以
1
a
+
2
b
=1,
由基本不等式,
得1=
1
a
+
2
b
≥2
2
ab

∴ab≥8,
于是S△AOB=
1
2
ab≥4 当且仅当 
1
a
2
b

即a=2,b=4时,取“=”,
因此,△AOB的面积最小时,
直线l的方程为
x
2
+
y
4
=1
,即2x+y-4=0.