利用韦达定理,求一个一元二次方程,是它的两根分别是x^2-3x+1=0的各根的平方

问题描述:

利用韦达定理,求一个一元二次方程,是它的两根分别是x^2-3x+1=0的各根的平方

设x1、x2为两根,且x1>x2
根据韦达定理:
x1+x2=3 ①
x1*x2=1 ②
①式两边平方:
x1²+x2²+2x1*x2=9
∴x1²+x2²=9-2x1*x2
∴x1²+x2²=9-2
∴x1²+x2²=7 ③
又∵x1²+x2²+2x1*x2=9
∴x1²+x2²+2x1*x2-4x1*x2=9-4x1*x2
∴(x1-x2)²=9-4
∴x1-x2=√5
∴(x1+x2)(x1-x2)=3√5
∴x1²-x2²=3√5 ④
③、④联立解得:x1²=(7+3√5)/2,x2²=(7-3√5)/2

可以求一个解然后再利用伟大定理求出另一个然后再列方程

x^2-3x+1=0
x1+x2=3,x1x2=1
设新方程的根分别是A和B,则有A=X1^2,B=X2^2
A+B=X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1X2=9-2=7
AB=X1^2X2^2=1
故新的方程是x^2-7x+1=0

Δ=9-4=5;
x1+x2=3;
x1x2=1;
x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=9-2=7;
x1²x2²=1;
∴方程为x²-7x+1=0;
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