在四棱锥P-ABCD中,△PBC为正三角形,AB⊥平面PBC,AB∥CD,AB=12DC,DC=3BC,E为PD中点.(1)求证:AE∥平面PBC;(2)求证:AE⊥平面PDC;(3)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小.

问题描述:

在四棱锥P-ABCD中,△PBC为正三角形,AB⊥平面PBC,AB∥CD,AB=

1
2
DC,DC=
3
BC,E为PD中点.

(1)求证:AE∥平面PBC;
(2)求证:AE⊥平面PDC;
(3)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小.

(1)证明:取PC的中点为F,连接EF,则EF为△PDC的中位线,即EF平行且等于

1
2
DC.
又∵AB∥CD,
∴AB平行且等于EF,
∴AE∥BF,
又∵BF⊂平面PBC,
∴四边形AEFB为矩形,
∴AE∥平面PBC.(3分)
(2)证明:∵△PBC为正三角形,F为PC的中点,
∴BF⊥PC
又EF⊥PC,EF∩BF=F,
∴PC⊥平面AEFB,AE⊥PC;
由(1)知AE⊥EF,EF∩PC=F,
∴AE⊥平面PDC.(7分)
(3)延长CB交DA于B/,连接PB/,设BC=a,
∵AB=
1
2
DC,
∴BB/=BP=a,取B/P的中点为H,连接AH,BH,则BH⊥B/P,由三垂线定理知,AH⊥B/P,
∴∠AHB为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角.(9分)
在Rt△AHB中,AB=
3
2
a,AH=a,∴sin∠AHB=
3
2
,∠AHB=
π
3

∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角为
π
3
.(12分)
答案解析:(1)欲证AE∥平面PBC,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AE与平面PBC内一直线平行,取PC的中点为F,连接EF,则AE∥BF,又BF⊂平面PBC,满足定理所需条件;
(2)欲证AE⊥平面PDC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AE与平面PDC内两相交直线垂直,根据线面垂直的性质可知AE⊥PC,而AE⊥EF,EF∩PC=F,满足定理所需条件;
(3)延长CB交DA于B/,连接PB/,取B/P的中点为H,连接AH,BH,则BH⊥B/P,由三垂线定理知,AH⊥B/P,则∠AHB为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角,在Rt△AHB中,求出此角即可.
考试点:与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
知识点:本题主要考查了线面平行的判定,以及线面垂直的判定和二面角的度量,同时考查了推理论证与计算的能力,属于中档题.