四棱锥P—ABCD底面为一直角梯形,BA⊥AD,CD⊥AD,侧面PAD⊥底...四棱锥P—ABCD底面为一直角梯形,BA⊥AD,CD⊥AD,侧面PAD⊥底面ABCD.(1)求证:平面PCD⊥平面'PAD (2)若AB=2,CD=4,侧面PBC是一边长等于10的正三角形,求对角线AC与侧面PCD所成的角的正弦值.帮忙解下第二问,要详解

问题描述:

四棱锥P—ABCD底面为一直角梯形,BA⊥AD,CD⊥AD,侧面PAD⊥底...
四棱锥P—ABCD底面为一直角梯形,BA⊥AD,CD⊥AD,侧面PAD⊥底面ABCD.(1)求证:平面PCD⊥平面'PAD (2)若AB=2,CD=4,侧面PBC是一边长等于10的正三角形,求对角线AC与侧面PCD所成的角的正弦值.帮忙解下第二问,要详解

∵面PAD⊥底面ABCD,面PAD∩底面ABCD=AD,
又BA⊥AD,CD⊥AD,∴BA⊥面PAD,CD⊥面PAD;
∴△PAB、△PDC均为Rt△,且有面PCD⊥面PAD.
在Rt△PAB中,PA=√(PB2-AB2)=√(100-4)=√96;
在Rt△PDC中,PD=√(PC2-CD2)=√(100-16)=√84;
在底面直角梯形ABCD中,作BE⊥CD于E,则有
BE=AD=√(BC2-CE2)=√(100-4)=√96;连接AC,
则AC=√(AD2+CD2)=√(96+16)=√112;因PA=AD,所以△PAD是等腰三角形.
此时作AF⊥PD于F,∵面PAD⊥面PCD,∴AF⊥面PCD;
连FC,则∠ACF即为AC与面PCD所成的角.
AF=√(AD2-FD2)=√(96-21)=√75;因△AFC是Rt△,
所以,sinACF=AF/AC=√75/√112
=5√(21)/28.