数列{an}的各项为正,对任意正整数n,an与2的等差中项等于其前n项和Sn与2的等比中项,求{an}的通项公式
问题描述：
数列{an}的各项为正,对任意正整数n,an与2的等差中项等于其前n项和Sn与2的等比中项,求{an}的通项公式
答
这题上高中常做~~
（an+2）/2=√2Sn
{(an+2)/2}^2=2Sn
(an+2)^2=8Sn
对照再写一个式子
(an-1 +2)^2=8Sn-1
两个式子相减 得
8（Sn-Sn-1）=an^2+4an-(an-1)^2-4an-1
8an=an^2+4an-(an-1)^2-4an-1
(an+an-1)(an-an-1 -4)=0
因为{an}各项为正 所以an-an-1 -4=0
所以an=an-1 +4
当n=1时 a1=S1
所以a1=2
所以an=4n-2
答
an/2+1=√(2Sn)
Sn=an^2/8+an/2+1/2
S(n+1)=a(n+1)^2/8+a(n+1)/2+1/2
a(n+1)=S(n+1)-Sn=a(n+1)^2/8+a(n+1)/2-an^2/8-an/2
a(n+1)^2/8-a(n+1)/2-an^2/8-an/2=0
a(n+1)^2-4a(n+1)-an^2-4an=0
a(n+1)=an+4
an=-2+4n