如图,矩形ABCD的两边AB=3,BC=4,P是AD上任一点,PE⊥AC,垂足为点E,PE⊥BD,垂足为点F,求PE+PF的值

问题描述:

如图,矩形ABCD的两边AB=3,BC=4,P是AD上任一点,PE⊥AC,垂足为点E,PE⊥BD,垂足为点F,求PE+PF的值

证明:因为ABCD是矩形
所以AC=BD=√(AB^2+BC^2)=√(3^2+4^2)=5
因为PE⊥AC,FE⊥BD
所以∠PEA=∠DFP=90
RT∆DPF和RT∆DBA中
∠PDF=∠BAD
∠DFP=∠BAD
所以RT∆DPF≌RT∆DBA
PF/AB=DP/BD (1)
同理可得,RT∆AEP≌RT∆ADC
PE/CD=AP/AC (2)
方程(1)和方程(2)左右两边分别相加,得
PF/AB+PE/CD=DP/BD+AP/AC
在矩形ABCD中,AB=CD=3,AC=BD=5,BC=AD=4
所以PF/AB+PE/CD=DP/BD+AP/AC可变换为
(PE+PF)/AB=(DP+AP)/AC=AD/AC
代入,得(PE+PF)/3=4/5
PE+PF=12/5

很简单的
PE⊥AC,PE⊥BD
连接PO,
S△APO+S△POD=1/2OA*PE+1/2OD*PF=1/2OA*(PE+PF)=1/4AC*(PE+PF)
S△APO+S△POD=S△AOD=1/2AD*(1/2AB)=1/4BC*AB=3
AC=√(AB²+AC²)=5
1/4*5*(PE+PF)=3
PE+PF=12/5