已知两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,若圆锥底面面积是这个球面面积的316,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______.

问题描述:

已知两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,若圆锥底面面积是这个球面面积的

3
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,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______.

不妨设球的半径为:4;球的表面积为:64π,圆锥的底面积为:12π,圆锥的底面半径为:2

3

由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离,求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形
由此可以求得球心到圆锥底面的距离是
42(2
3
)
2
=2

所以圆锥体积较小者的高为:4-2=2,同理可得圆锥体积较大者的高为:4+2=6;
所以这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为:
1
3

故答案为:
1
3

答案解析:所成球的半径,求出球的面积,然后求出圆锥的底面积,求出圆锥的底面半径,即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值.
考试点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台);球的体积和表面积.
知识点:本题是基础题,考查旋转体的体积,球的内接圆锥的体积的计算,考查计算能力,空间想象能力,常考题型.