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如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC边上任一点，PE∥AB交AC于点E，PF∥AC交AB于点F．（1）设BP=x，请写出用x表示S△PEF的表达式；（2）P在BC的什么位置时，S△PEF取得最大值？

分类: 作业答案 • 2022-04-18 15:56:05
问题描述：

如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC边上任一点，PE∥AB交AC于点E，PF∥AC交AB于点F．

（1）设BP=x，请写出用x表示S△PEF的表达式；
（2）P在BC的什么位置时，S△PEF取得最大值？

答

（1）∵BC=2，BC边上的高AD=1，
∴S△ABC=

1
2
×2×1=1，
∵BP=x，
∴PC=2-x，
∵PE∥AB，
∴△CEP与△CAB相似，
∴
S△CEP
S△CAB
＝(
2−x
x
)2，
∴S△CEP＝1−x+
x2
4
，
同理，得到S△BPF＝
x2
4
，
∵四边形AEPF为平行四边形，
∴S△PEF=
1
2
S▱AEPF=
1
2
（S△ABC-S△CEP-S△BPF）
=-
1
4
x2+
1
2
x，（0＜x＜2）．
S△PEF=-
1
4
x2+
1
2
x（0＜x＜2）．
（2）由（1）知S△PEF=-
1
4
x2+
1
2
x=-
1
4
（x-1）2+
1
4
，
∵0＜x＜2，
∴当x=1时，面积有最大值
1
4
．
答案解析：（1）首先，求解三角形ABC的面积，然后结合三角形相似，面积比等于相似比的平方，得到△CEP和△BPF的面积，再根据四边形AEPF为平行四边形，从而得到S△PEF的表达式；
（2）根据（1），结合二次函数的性质，求解最大值即可．
考试点：函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．
知识点：本题结合平面几何知识综合考查建立函数解析式的能力，找准变量之间的关系是解题的关键，属于难题．

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