xy(dy/dx)=x2+y2 求这个微分方程
问题描述：
xy(dy/dx)=x2+y2 求这个微分方程
答
先令z=y^2
x*dz/dx=2*x^2+2z
再令x=e^t,t=lnx
dz/dx=dz/dt*dt/dx=dz/dt*1/x
dz/dt=2*e^(2t)+2z
两边同乘e^(-2t)
dz/dt*e^(-2t)-2z*e^(-2t)=2
令y=z*e^(-2t)
dy/dt=2
y=2t+C
y=2lnx+C
y^2*e^(-2*ln x)=2lnx+C
y^2=Cx^2+2lnx*x^2
答
设y=tx,则dy=xdt+tdx,方程化为
tx^2(xdt/dx+t)=x^2*(1+t^2),
化为txdt/dx=1,
∴tdt=dx/x,
t^2=2lnx+c,
y^2=x^2*(2lnx+c).
答
可化简为
dy/dx=(x/y)+(y/x)…………①
设u=y/x,则y=ux,
dy/dx=x(du/dx)+u
所以,①式化为
x(du/dx)+u=(1/u)+u
即
udu=dx/x
解得
(1/2)(u^2)=lnx+C'
代入u=y/x,整理得
y^2=(2lnx+C)(x^2)