若a为整数,证明a的立方－a能被6整除
问题描述：
若a为整数,证明a的立方－a能被6整除
答
a^3-a=a(a-1)(a+1)
当a=1时，a^3-a=a(a-1)(a+1)＝1*0*2=0,能被6整除。
设a=n时命题成立，即a^3-a=a(a-1)(a+1)＝n(n-1)（n+1)能被6整除。
则a=n+1时，a^3-a=a(a-1)(a+1)＝(n+1)(n)(n+2)=(n+1)(n)(n+2-3+3)=(n)(n-1)（n＋1）+3(n+1)(n)
在(n)(n-1)（n＋1）+3(n+1)(n)中，(n)(n-1)（n＋1）已被证明能被6整除，而3(n+1)(n)能被3整除，又(n+1)与(n)中必有一个能被2整除，因此3(n+1)(n)能被6整除，从而(n)(n-1)（n＋1）+3(n+1)(n)能被6整除。因此当a=n+1时命题成立。得证。
答
证明：
a^3-a
=a(a^2-1)
=a(a+1)(a-1)
a为整数,
所以,a(a+1)(a-1)为三个连续整数的积,
三个连续整数,其中必有一个是2的倍数,也必有一个是3的倍数.
所以,a(a+1)(a-1)必是6的倍数.
所以,a的立方－a能被6整除