一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).(1)求该函数的解析式,并说明点(1,2)是否在函数图象上;(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点的坐标.

问题描述:

一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).

(1)求该函数的解析式,并说明点(1,2)是否在函数图象上;
(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点的坐标.

(1)∵y=kx+b过A(2,0),B(0,4),
∴将点A、B的坐标代入y=kx+b计算得,
 k=-2,b=4,
∴解析式为:y=-2x+4;
当x=1时,y=-2×1+4=2,所以点在函数图象上.
(2)存在一点P,使PC+PD最小.
∵0(0,0),A(2,0),且C为AO的中点,
∴点C的坐标为(1,0),
则C关于y轴的对称点为C′(-1,0),
又∵B(0,4),A(2,0)且D为AB的中点,
∴点D的坐标为(1,2),
连接C′D,设C′D的解析式为y=kx+b,

2=k+b
0=−k+b

解得
k=1
b=1

∴y=x+1是DC′的解析式,
∵x=0,∴y=1,
即P(0,1).
∵PC+PD的最小值=C′D,
∴由勾股定理得C′D=2
2

答案解析:(1)将点A、B的坐标代入y=kx+b并计算出k、b的值,从而得出解析式,然后验证(1,2)是否在函数图象上即可;
(2)取点C关于点O的对称点为C′,连接DC′,即C′、P、D共线时,PC+PD的最小值是C′D.在直角三角形C′CD中,根据勾股定理,可得C′D的长,根据三角形的中位线定理已知点P的坐标;
考试点:一次函数综合题;轴对称-最短路线问题.

知识点:本题考查了一次函数的综合应用及最短路线问题,凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性质定理,结合所学轴对称变换来解决.