若定义在R上的函数f（x）对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，且当x＞0时，f（x）＞1．（1）求f（0）的值；（2）求证：f（x）是R上的增函数；（3）若f（4）=5，不等式f（cos2x+asinx-2）＜3对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
问题描述：
若定义在R上的函数f（x）对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）若f（4）=5，不等式f（cos2x+asinx-2）＜3对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
答
（1）定义在R上的函数f（x）对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，令x1=x2=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）-1⇒f（0）=1，（2）由（1）知，f（x）-1为奇函数，∴f（-x）-1=-[f（x）-1]，任取x1，x...
答案解析：（1）通过令x1=x2=0，即可得到f（0）=1；
（2）要判断函数的增减性，就是在自变量范围中任意取两个x1＜x2∈R，判断出f（x1）与f（x2）的大小即可知道增减性．
（3）已知f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1，且f（4）=5，则f（4）=f（2）+f（2）-1⇒f（2）=3．由不等式f（cos2x+asinx-2）＜3，得f（cos2x+asinx-2）＜f（2），由（2）知，f（x）是R上的增函数，得到cos2x+asinx-2＜2，利用换元法转化函数，通过函数的对称轴的讨论，利用函数的最小值大于0，求出a的范围即可．
考试点：函数恒成立问题；抽象函数及其应用．
知识点：考查学生掌握判断函数奇偶性能力和判断函数增减性的能力，灵活运用题中已知条件的能力，考查分类讨论思想的应用．