已知数列{an}中,a0=2,a1=3,a2=6,且对n≥3时,有an=(n+4)an-1-4nan-2+(4n-8)an-3.(Ⅰ)设数列{bn}满足bn=an-nan-1,n∈N*,证明数列{bn+1-2bn}为等比数列,并求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)记n×(n-1)×…×2×1=n!,求数列{nan}的前n项和Sn.

问题描述:

已知数列{an}中,a0=2,a1=3,a2=6,且对n≥3时,有an=(n+4)an-1-4nan-2+(4n-8)an-3
(Ⅰ)设数列{bn}满足bn=an-nan-1,n∈N*,证明数列{bn+1-2bn}为等比数列,并求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)记n×(n-1)×…×2×1=n!,求数列{nan}的前n项和Sn

(Ⅰ) 证明:由条件,得an-nan-1=4[an-1-(n-1)an-2]-4[an-2-(n-2)an-3],
则an+1-(n+1)an=4[an-nan-1]-4[an-1-(n-1)an-2].…2分
即bn+1=4bn-4bn-1.又b1=1,b2=0,所以bn+1-2bn=2(bn-2bn-1),b2-2b1=-2≠0.
所以{bn+1-2bn}是首项为-2,公比为2的等比数列. …4分b2-2b1=-2,所以bn+1-2bn=2n-1(b2-2b1)=-2n
两边同除以2n+1,可得

bn+1
2n+1
bn
2n
=−
1
2
.…6分
于是{
bn
2n
}
为以
1
2
首项,-
1
2
为公差的等差数列.
所以
bn
2n
b1
2
1
2
(n−1),得bn2n(1−
n
2
)
.…8分
(Ⅱ)an-2n=nan-1-n2n-1=n(an-1-2n-1),令cn=an-2n,则cn=ncn-1
而c1=1,∴cn=n(n-1)•…•2•1•c1=n(n-1)•…•2•1.
∴an=n(n-1)•…•2•1+2n. …12分nan=n•n•(n-1)•…•2•1+n2n=(n+1)!-n!+n•2n
∴Sn=(2!-1!)+(3!-2!)+…+(n+1)!-n!+(1×2+2×22+…+n×2n).…14分
令Tn=1×2+2×22+…+n×2n,①
则2Tn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1.②
①-②,得-Tn=2+22+…+2n-n×2n+1,Tn=(n-1)2n+1+2.
S^=(n+1)!+(n−1)2n+1+1.…16分.
答案解析:(Ⅰ)由条件,得an-nan-1=4[an-1-(n-1)an-2]-4[an-2-(n-2)an-3],进而再写一式an+1-(n+1)an=4[an-nan-1]-4[an-1-(n-1)an-2].代入化简得bn+1=4bn-4bn-1.构建数列{bn+1-2bn},从而可证明其是首项为-2,公比为2的等比数列.由此可求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)易得nan=n•n•(n-1)•…•2•1+n2n=(n+1)!-n!+n•2n,从而Sn=(2!-1!)+(3!-2!)+…+(n+1)!-n!+(1×2+2×22+…+n×2n),同乘公比,错位相减可求.
考试点:数列递推式;等差数列的通项公式;等比关系的确定;数列的求和.

知识点:本题以数列递推式为载体,考查数列的通项及求和问题,掌握通解通法是关键.应学会构造法求数列的通项.