在直角坐标系中,已知射线OA:x-y=0(x≥0),OB:√3 x+3y=0(x≥0),过点P(1,0)作直线分别交射线OA,OB于点A,B(1)当AB中点为P时,求直线AB的方程(2)当AB中点在直线y=1/2 x上时,求直线AB的方程

问题描述:

在直角坐标系中,已知射线OA:x-y=0(x≥0),OB:√3 x+3y=0(x≥0),过点P(1,0)作直线分别交射线OA,OB于点A,B
(1)当AB中点为P时,求直线AB的方程
(2)当AB中点在直线y=1/2 x上时,求直线AB的方程

(1)可设直线AB的方程为y=k(x-1),(经过简单计算知斜率一定存在),分别与x-y=0(x≥0),√3 x+3y=0(x≥0)联立求解,得x1=k/(k-1),x2=√3k/(1+√3k).由x1+x2=2,得k=-√3-1.即直线AB的方程为y=k(x-1),(√3+1)x+y-√3-1=0. (2)由(1)知x1=y1=k/(k-1),x2=√3k/(1+√3k),y2=-k/(1+√3k).因为AB中点在直线y=1/2 x上,有(y1+y2)=(1/2)(x1+x2),即2k/(k-1)-2k/(1+√3k)=k/(k-1)+√3k/(1+√3k),也就是k/(k-1)=(2+√3)k/(1+√3k),进而有k+√3k²=(2+√3)k²-(2+√3)k,得2k²+(3+√3)k=0,即k=0或k=-(3+√3)/2. 所以,直线AB的方程为y=0或(3+√3)x+2y-(3+√3)=0.