如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6.P是AB边上的一个动点(异于A、B两点),过点P分别作AC、BC边的垂线,垂足为M、N.设AP=x.(1)在△ABC中,AB=______;(2)当x=______时,矩形PMCN的周长是14;(3)是否存在x的值,使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?请说出你的判断,并加以说明.

问题描述:

如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6.P是AB边上的一个动点(异于A、B两点),过点P分别作AC、BC边的垂线,垂足为M、N.设AP=x.
(1)在△ABC中,AB=______;
(2)当x=______时,矩形PMCN的周长是14;
(3)是否存在x的值,使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?请说出你的判断,并加以说明.

(1)∵△ABC为直角三角形,且AC=8,BC=6,
∴AB=

AC2+BC2
82+62
=10.
(2)∵PM⊥AC  PN⊥BC
∴MP∥BC   AC∥PN(垂直于同一条直线的两条直线平行),
PM
BC
AP
AB
PN
AC
BP
AB

∵AP=x,AB=10,BC=6,AC=8,BP=10-x,
∴PM=
BC•AP
AB
6
10
x=
3
5
x

PN=
AC•BP
AB
8
10
(10−x)=
4(10−x)
5
=8-
4x
5

∴矩形PMCN周长=2(PM+PN)=2(
3
5
x+8-
4
5
x)=14.
∴x=5.
(3)∵PM⊥AC,PN⊥BC,
∴∠AMP=∠PNB=90°,
∴AC∥PN.
∴∠A=∠NPB.
∴△AMP∽△PNB.
∴当P为AB中点,即AP=PB时,△AMP≌△PNB,
此时,S△AMP=S△PNB=
1
2
AM•MP=
1
2
×4×3=6

而矩形PMCN面积=PM•MC=3×4=12,
∴不存在能使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN面积同时相等的x的值.
答案解析:(1)利用勾股定理求AB;
(2)利用MP∥BC和NP∥AC,可得到
PM
BC
AP
AB
PN
AC
BP
AB
,将AP=x,AB=10,BC=6,AC=8,BP=10-x
代入式中就能得到PM和PN关于x的表达式.再由矩形周长=2(PM+PN),求出x的值.
(3)当P为AB的中点时,△PAM的面积与△PBN的面积才相等,再求出矩形PMCN的面积,进行判断.
考试点:解直角三角形;勾股定理.
知识点:本题考查了相似三角形性质、面积和矩形面积.