如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP=x． （1）在△ABC中，AB=_； （2）当x=_时，矩形PMCN的周长是14； （3
问题描述：
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP=x．
（1）在△ABC中，AB=______；
（2）当x=______时，矩形PMCN的周长是14；
（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明．
答
（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6，
∴AB=
＝
AC2+BC2
＝10．
82+62
（2）∵PM⊥AC PN⊥BC
∴MP∥BC AC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴
＝PM BC
，AP AB
＝PN AC
BP AB
∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x，
∴PM=
＝BC•AP AB
x＝6 10
x3 5
PN=
＝AC•BP AB
(10−x)＝8 10
=8-4(10−x) 5
4x 5
∴矩形PMCN周长=2（PM+PN）=2（
x+8-3 5
x）=14．4 5
∴x=5．
（3）∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠AMP=∠PNB=90°，
∴AC∥PN．
∴∠A=∠NPB．
∴△AMP∽△PNB．
∴当P为AB中点，即AP=PB时，△AMP≌△PNB，
此时，S△AMP=S△PNB=
AM•MP＝1 2
×4×3＝6，1 2
而矩形PMCN面积=PM•MC=3×4=12，
∴不存在能使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN面积同时相等的x的值．