在三角形ABC中,角C=90度,AC=8,BC=6.P是AB边上的一个动点(异于A、B两点),如图,在三角形ABC中,角C=90度,AC=8,BC=6.P是AB边上的一个动点(异于A、B两点),过点P分别作AC、BC边的垂线,垂足为MN,设AP=X,(1)当x= 时,矩形PMCN的周长是14;(2)是否存在X的值,使得三角形PAM的面积、三角形PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?请你说出你的判断,并加以说明

问题描述:

在三角形ABC中,角C=90度,AC=8,BC=6.P是AB边上的一个动点(异于A、B两点),
如图,在三角形ABC中,角C=90度,AC=8,BC=6.P是AB边上的一个动点(异于A、B两点),过点P分别作AC、BC边的垂线,垂足为MN,设AP=X,
(1)当x= 时,矩形PMCN的周长是14;
(2)是否存在X的值,使得三角形PAM的面积、三角形PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?请你说出你的判断,并加以说明

(1)∵△ABC为直角三角形,且AC=8,BC=6,
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}+{BC}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}=10$.
(2)∵PM⊥AC PN⊥BC
∴MP∥BC AC∥PN(垂直于同一条直线的两条直线平行),
∴$\frac{PM}{BC}=\frac{AP}{AB},\frac{PN}{AC}=\frac{BP}{AB}$
∵AP=x,AB=10,BC=6,AC=8,BP=10-x
∴PM=$\frac{BC?AP}{AB}=\frac{6}{10}x=\frac{3}{5}x$
PN=$\frac{AC?BP}{AB}=\frac{8}{10}(10-x)=\frac{4(10-x)}{5}$=8-$\frac{4x}{5}$
∴矩形PMCN周长=2(PM+PN)=2($\frac{3}{5}$x+8-$\frac{4}{5}$x)=14.
∴x=5.
(3)∵PM⊥AC,PN⊥BC,
∴AC∥PN.
∴∠A=∠NPB.
∴△AMP∽△PNB.
∴当P为AB中点,即AP=PB时,△AMP≌△PNB,
此时,S△AMP=S△PNB=$\frac{1}{2}AM?MP=\frac{1}{2}×4×3=6$,
而矩形PMCN面积=PM?MC=3×4=12,
∴不存在能使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN面积同时相等的x的值

第一题很简单

当x=5时,矩形PMCN的周长是14

三角形ABC相似于三角形APM

AP/AB=MP/BC

X/10=MP/6

MP=3X/5

MC=7-3X/5

AM=AC-MC=8-(7-3X/5)=3X/5+1

AP^2=AM^2+MP^2

X^2=(3X/5+1)^2+(3X/5)^2

X^2=9X^2/25+6X/5+1+9X/25

X^2=18X^2/25+6X/5+1

7X^2/25-6X/5-1=0

7X^2-30X-25=0

(7X+5)(X-5)=0

X=5或X=-5/7(舍去)

第二题如图