设函数f(x)=p(x-1x)-2lnx,g(x)=x2,(I)若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象相切于点(1,0),求实数p的值;(II)若f(x)在其定义域内为单调函数,求实数p的取值范围.

问题描述:

设函数f(x)=p(x-

1
x
)-2lnx,g(x)=x2
(I)若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象相切于点(1,0),求实数p的值;
(II)若f(x)在其定义域内为单调函数,求实数p的取值范围.

(Ⅰ)方法一:∵f′(x)=p+

p
x2
2
x
,∴f'(1)=2p-2.
设直线,并设l与g(x)=x2相切于点M(x0,y0
∵g'(x)=2x,∴2x0=2p-2,解得
x0=p−1,y0(p−1)2
代入直线l方程解得p=1或p=3.
方法二:将直线方程l代入y=x2得2(p-1)(x-1)=0,
∴△=4(p-1)2-8(p-1)=0,
解得p=1或p=3.
(Ⅱ)∵f′(x)=p+
p
x2
2
x
=
px2−2x+p
x2
..
①要使f(x)为单调增函数,f'(x)≥0在(0,+∞)恒成立,
即px2-2x+p≥0在(0,+∞)恒成立,即p≥
2x
x2+1
2
x+
1
x
在(0,+∞)恒成立,
2
x+
1
x
≤1
,所以当p≥1,此时f(x)在(0,+∞)为单调增函数;   
②要使f(x)为单调减函数,须f'(x)<0在(0,+∞)恒成立,
即在(0,+∞)恒成立,即p≤
2x
x2+1
,(0,+∞)恒成立,又
2x
x2+1
≥0
,所以p≤0.当p≤0时,f(x)在(0,+∞)为单调减函数.
综上,若f(x)在(0,+∞)为单调函数,则p的取值范围为p≥1或p≤0.
答案解析:(I)分别求出f(x),g(x)的导数,利用直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,求出它们导数之间的关系.
(II)f(x)在其定义域内为单调函数,则说明导数f'(x)>0,或f'(x)<0,恒成立.
考试点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
知识点:本题考查导数的应用,要正确理解函数单调性与导数之间的关系.当函数函数单调递增时,得f'(x)≥0,不能漏掉等号.