如图,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米,面积为S米2.(1)求S与x的函数关系式;(2)如果要围成面积为45米2的花圃,AB的长是多少米?(3)能围成面积比45米2更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.

问题描述:

如图,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米,面积为S米2
(1)求S与x的函数关系式;
(2)如果要围成面积为45米2的花圃,AB的长是多少米?
(3)能围成面积比45米2更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.

(1)由题可知,花圃的宽AB为x米,则BC为(24-3x)米
这时面积S=x(24-3x)=-3x2+24x.
(2)由条件-3x2+24x=45化为x2-8x+15=0
解得x1=5,x2=3
∵0<24-3x≤10得

14
3
≤x<8
∴x=3不合题意,舍去
即花圃的宽为5米.
(3)S=-3x2+24x=-3(x2-8x)=-3(x-4)2+48(
14
3
≤x<8)
∴当x=
14
3
时,S有最大值48-3(
14
3
-4)2=46
2
3

故能围成面积比45米2更大的花圃.围法:24-3×
14
3
=10,花圃的长为10米,宽为4
2
3
米,这时有最大面积46
2
3
平方米.
答案解析:(1)可先用篱笆的长表示出BC的长,然后根据矩形的面积=长×宽,得出S与x的函数关系式.
(2)根据(1)的函数关系式,将S=45代入其中,求出x的值即可.
(3)可根据(1)中函数的性质和自变量的取值范围得出符合条件的方案.
考试点:一元二次方程的应用;二次函数的应用.

知识点:本题考查了一元二次方程,二次函数的综合应用,根据已知条件列出二次函数式是解题的关键.要注意题中自变量的取值范围不要丢掉.