一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为（ ）A. 45B. 35C. 55D. 255
问题描述：
一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为（ ）
A.
4 5
B.
3 5
C.
5
5
D.
2
5
5
答
设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，则圆锥的高
H=R•ctgθ
圆锥的体积，
V1=
πR2H=1 3
πR3ctgθ1 3
半球的体积
V2=
πR32 3
∵V1=V2
解得ctgθ=2，∵ctgθ=
=2，sin2θ+cos2θ=1cosθ sinθ
解得sinθ=
．
5
5
故选C．
答案解析：一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，设出底面半径和母线与轴所成角为θ，表示出圆锥的高，根据圆锥体积公式V=
πR2H，和球的体积公式V=1 3
πR3，代入即可求得圆锥的母线与轴所成角正弦值．4 3
考试点：球的体积和表面积．
知识点：考查圆锥和球的体积公式，及线线角的问题，在计算过程中注意公式的灵活应用，属基础题．