一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积和半球的体积相等,则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为( )A. 45B. 35C. 55D. 255
问题描述:
一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积和半球的体积相等,则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为( )
A.
4 5
B.
3 5
C.
5
5
D.
2
5
5
答
设圆锥的半径为R,高为H,母线与轴所成角为θ,则圆锥的高
H=R•ctgθ
圆锥的体积,
V1=
πR2H=1 3
πR3ctgθ1 3
半球的体积
V2=
πR32 3
∵V1=V2
解得ctgθ=2,∵ctgθ=
=2,sin2θ+cos2θ=1cosθ sinθ
解得sinθ=
.
5
5
故选C.
答案解析:一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积和半球的体积相等,设出底面半径和母线与轴所成角为θ,表示出圆锥的高,根据圆锥体积公式V=
πR2H,和球的体积公式V=1 3
πR3,代入即可求得圆锥的母线与轴所成角正弦值.4 3
考试点:球的体积和表面积.
知识点:考查圆锥和球的体积公式,及线线角的问题,在计算过程中注意公式的灵活应用,属基础题.