求函数 y=cosX*sin(X+π/3)-根号3*sin^2X+sinXcosX 的最小正周期,最值,和单调增区间

先用积化和差CosXSin(X+π/3) = 1/2*(Sin(2x + π/3) + Sin(π/3)) = 1/2*Sin(2x + π/3) + 根号(3)/4
根号(3) (SinX)^2 = 根号(3)/2 *(1-Cos2x)二倍角公式
SinXCosX = 1/2*Sin2X二倍角公式
所以原式 =
1/2*Sin(2x+π/3) + 根号(3)/4 - 根号(3)/2 + 根号(3)/2 * Cos2X + 1/2*Sin2X
其中逆用积化和差公式
根号(3)/2 * Cos2X + 1/2*Sin2X = Sin(π/3)*Cos2X + Cos(π/3)*Sin2X = Sin(2X + π/3)
所以原式
= 1/2*Sin(2x+π/3) + Sin(2X + π/3) - 根号(3)/4
= 3/2 * Sin(2X + π/3) - 根号(3)/4
所以
最小正周期是π
最大值是3/2 - 根号(3)/4
最小值是 -3/2 - 根号(3)/4
单调区间...很难打,自己看一下
上面推导不是在纸笔上写的,大体过程肯定是这样的,细节不知道是不是全对,你可以自己根据这个办法推一下
回答者： vwenye | 七级 | 2011-6-8 12:51
y=cosx*sin(x+π/3)-√3*(sinx)^2+sinx*cosx
=cos(1/2sinx+√3/2cosx)-√3*(sinx)^2+sinx*cosx
=3/2sinx*cosx+√3/2(cosx)^2-√3*(sinx)^2
=3/4sin2x+3√3/4(cos2x)-√3/4{说明：此处利用二倍角公式：sin2x=2sinx*cosx,cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2=1-2(sinx)^2=2(cosx)^2-1}
=3/2(1/2sin2x+√3/2cos2x)-√3/4
=3/2sin(2x+π/3)-√3/4
最小正周期：T=2π/w=π,
最大值：当sin(2x+π/3)=1（即X=π+π/12）时,y取最大值3/2-√3/4
最小值：当sin(2x+π/3)=-1（即X=π-5π/12）时,y取最小值-3/2-√3/4
单调增区间：当u=sin(2x+π/3)单调递增时,函数y=3/2u-√3/4一定单调递增,
2π-π/2《2x+π/3《2π+π/2
解得：π-5π/12《x《π+π/12
就这样算