已知函数f(x)=2sinxcos(π2-x)-3sin(π+x)cosx+sin(π2+x)cosx.(1)求函数y=f(x)的最小正周期和最值;(2)指出y=f(x)图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称.

问题描述:

已知函数f(x)=2sinxcos(

π
2
-x)-
3
sin(π+x)cosx+sin(
π
2
+x)cosx.
(1)求函数y=f(x)的最小正周期和最值;
(2)指出y=f(x)图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称.

(1)∵f(x)=2sinxcos(

π
2
-x)-
3
sin(π+x)cosx+sin(
π
2
+x)cosx
=2sin2x+
3
sinxcosx+cos2x
=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x+
3
2

=sin(2x-
π
6
)=
3
2

∴y=f(x)最小正周期T=π,y=f(x)的最大值为
3
2
+1=
5
2
,最小值为
3
2
-1=
1
2

(2)∵y=
3
2
+sin(2x-
π
6
左移
π
12
单位
y=
3
2
+sin2x
下移
3
2
单位
y=sin2x.
y=sin2x是奇函数,故图象关于原点对称.