设X和Y是可分拓扑空间,证明：X*Y也是可分拓扑空间.

设A和B是分别是X和Y中的可数稠密子集,那么A*B是 X*Y的可数稠密子集（稠密性直接用乘积拓扑的拓扑基来说就行了）.那么就证一下刚才所说的，A*B是X*Y的可数稠密子集好了。可数性显然，它是两个可数集合的乘积。至于稠密性，任取一个点(x,y)属于X*Y，它的任何邻域，按照X*Y的乘积拓扑的定义，都包含一个形如U*V的开集，其中U是X中包含x的一个开集，V是Y中包含y的一个开集。因为A在X中稠密，所以A和U有一个公共元素a（属于X)，类似，B和V有一个公共元素b（属于Y），那么U*V和A*B有一个公共元素(a,b)。这就是说，(x,y)的任何一个邻域都和A*B有非空交集（从而(x,y)在A*B的闭包中，而这个(x,y)是任意选取的），也就是说A*B在X*Y中稠密。如果是初学点集拓扑，上面所说的或许有一点点跳步，不过应该不会太难看懂。看不明白可能是因为我没有把要点单列出来，另外自己需要仔细想。比如你或许可以试图自己回答：X可分的意思是什么？按定义，意思就是，存在一个A，是X的可数稠密子集。那么这个又是什么意思？意思就是A是可数的，并且A在X中的闭包就是X的全部。对Y作同样的分析，于是知道存在X的子集A，和Y的子集B使得：(1)A是可数的，并且A在X中的闭包就是X的全部；并且(2)B是可数的，并且B在Y中的闭包就是Y的全部。为了证明X*Y是可分的（再想一下，X*Y可分是什么意思？），我们可以直接试图证明：(3)A*B是可数的，并且A*B在X*Y中的闭包就是X*Y的全部。假如能证出(3)，那么X*Y就是可分的了。两个可数集的乘积是可数的，这是集合论的内容，不清楚的话只好去看实变函数的教材之类的。为证明“A*B在X*Y中的闭包就是X*Y的全部”，需要明白闭包是什么意思，还有X*Y的乘积拓扑是怎么定义的。我想重复一下的是，没有基础的话，一定要多想，不要犯懒。尽量不要看书上或者别人提供的“完整答案”，尽量按照提示自行解决问题。初学者都是这样练习的。当然，如果你实在没有任何数学基础的话，可以说一下你的分析课大约学到哪了。一般来讲，两维、三维实空间上，什么是开集、闭包，你应该是知道的才好（这样拓扑上定义开、闭集你才看得顺眼）；另外就是实变函数课里面关于集合的基数（或者叫势）的东西需要知道一点。这样基本上基础就够了（对于这道题而言）。如果比如你说你完全没学过什么是微分的话，那确实先要好好学之前的东西，不要急于学这个。