已知a1=1,Sn是前n项和,a(n)*a(n+1)=2Sn,求a(n)的通项公式.

【 ( ) 表示下标】
已知a(1)=1,S(n)是前n项和,a(n)*a(n+1)=2S(n),
则S(1)=a(1)=1,a(2)=2S(1)/a(1)=2,a(n)≠0,
又S(n+1)=S(n)+a(n+1),
有a(n+1)*a(n+2)
=2S(n+1)
=2[S(n)+a(n+1)]
=2S(n)+2a(n+1)
=[a(n)*a(n+1)]+2a(n+1),
则a(n+2)=a(n)+2,
即a(n+2)-a(n)=2,
有两种情形：
情形1.
当n=2k-1 (k∈N)时,构造数列{b(k)},使b(k)=a(n),
有b(1)=a(1)=1,
b(k+1)=a(2k+1),
则b(k+1)-b(k)=a(2k+1)-a(2k-1)=2,
可得到数列{b(k)}为等差数列,b(1)=1,公差d=2.
b(k)=b(1)+(k-1)d=2k-1.
得：a(n)=b(k)=2k-1=n,
即a(n)=n.
情形2.
当n=2k (k∈N)时,构造数列{b(k)},使b(k)=a(n),
有b(1)=a(2)=2,
b(k+1)=a(2k+2),
则b(k+1)-b(k)=a(2k+2)-a(2k)=2,
可得到数列{b(k)}为等差数列,b(1)=2,公差d=2.
b(k)=b(1)+(k-1)d=2k.
得：a(n)=b(k)=2k=n,
即a(n)=n.
综合上述情形分析,可得到 a(n)的通项公式为 a(n)=n .