已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c. (Ⅰ)若函数y=f(x)的图象上存在点P,使P点处的切线与x轴平行,求实数a,b的关系式; (Ⅱ)若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值,且其图象与x轴有且只有3个交

问题描述:

已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c.
(Ⅰ)若函数y=f(x)的图象上存在点P,使P点处的切线与x轴平行,求实数a,b的关系式;
(Ⅱ)若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值,且其图象与x轴有且只有3个交点,求实数c的取值范围.

(Ⅰ)f'(x)=3x2-2ax+b,设切点为P(x0,y0),则曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率k=f'(x0)=3x02-2ax0+b,由题意,知f'(x0)=3x02-2ax0+b=0有解,∴△=4a2-12b≥0即a2≥3b.(Ⅱ)由已知可得x=-1和x=3是方程f'...