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若a．b．c是不全相等的正数，求证：lga+b/2+lgb+c/2+lga+c/2＞lg a+lg b+lg c．

分类: 作业答案 • 2022-03-21 10:24:52

问题描述：

若a．b．c是不全相等的正数，求证：lg

a+b

2

+lg

b+c

2

+lg

a+c

2

＞lg a+lg b+lg c．

答

证明：∵a，b，c∈R⁺，
∴

a+b

2

≥

ab

＞0，

b+c

2

≥

bc

＞0，

a+c

2

≥

ac

＞0…（4分）
又上述三个等式中等号不能同时成立
∴

a+b

2

•

b+c

2

•

a+c

2

＞abc成立．…（6分）
lg（

a+b

2

•

b+c

2

•

a+c

2

）＞lgabc
∴lg

a+b

2

+lg

b+c

2

+lg

a+c

2

＞lg a+lg b+lg c．…（12分）