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若a．b．c是不全相等的正数，求证：lga+b2+lgb+c2+lga+c2＞lg a+lg b+lg c．

分类: 作业答案 • 2022-04-20 21:42:36
问题描述：

若a．b．c是不全相等的正数，求证：lg

a+b
2
+lg
b+c
2
+lg
a+c
2
＞lg a+lg b+lg c．

答

证明：∵a，b，c∈R+，
∴

a+b
2
≥
 ab
＞0，
b+c
2
≥
 bc
＞0，
a+c
2
≥
 ac
＞0…（4分）
又上述三个等式中等号不能同时成立
∴
a+b
2
•
b+c
2
•
a+c
2
＞abc成立．…（6分）
lg（
a+b
2
•
b+c
2
•
a+c
2
）＞lgabc
∴lg
a+b
2
+lg
b+c
2
+lg
a+c
2
＞lg a+lg b+lg c．…（12分）
答案解析：先根据基本不等式可得
a+b
2
≥
 ab
＞0，
b+c
2
≥
 bc
＞0，
a+c
2
≥
 ac
＞0，然后根据不等式的性质可得
a+b
2
•
b+c
2
•
a+c
2
＞abc成立，两边同取常用对数，即可证得结论．
考试点：对数函数图象与性质的综合应用．
知识点：本题主要考查了对数函数性质的综合应用，以及基本不等式的应用，同时考查了转化的数学思想，属于中档题．

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