已知A、B、C是△ABC的三个内角，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B0． （Ⅰ）求B0的大小； （Ⅱ）当B=3B04时，求cosA-cosC的值．
问题描述：
已知A、B、C是△ABC的三个内角，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B0．
（Ⅰ）求B0的大小；
（Ⅱ）当B=
时，求cosA-cosC的值． 3B0
4
答
（Ⅰ）由题设及正弦定理知，2b=a+c，即b=
．a+c 2
由余弦定理知，cosB=
=
a2+c2−b2
2ac
=
a2+c2−(
)2
a+c 2 2ac
≥3(a2+c2)−2ac 2ac
=6ac−2ac 8ac
．（4分）1 2
因为y=cosx在（0，π）上单调递减，所以B的最大值为B0=
．（6分）π 3
（Ⅱ）设cosA-cosC=x，①（8分）
由（Ⅰ）及题设知sinA+sinC=
．②
2
由①2+②2得，2-2cos（A+C）=x2+2．（10分）
又因为A+C=π-B=
，3π 4
所以x=±
，即cosA-cosC=±
4
2
．（14分）
4
2