已知定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）=2x4x+1．（1）求f（1）和f（-1）的值；（2）求f（x）在[-1，1]上的解析式．

问题描述：

已知定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）=

4x+1

．
（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）求f（x）在[-1，1]上的解析式．

答

（1）∵f（x）是周期为2的奇函数，
∴f（1）=f（1-2）=f（-1）=-f（1），
∴f（1）=0，f（-1）=0．…（4分）
（2）由题意知，f（0）=0．
当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．
由f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

4x+1

，
综上，f（x）=

4x+1

，x∈(0，1)

4x+1

，x∈(-1，0)

0，x∈{-1，0，1}

…（12分）
答案解析：（1）由已知中在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，可得f（1）=f（1-2）=f（-1）=-f（1），进而求出f（1）和f（-1）的值；
（2）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．由f（x）是奇函数，可得f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

4x+1

，结合已知及（1）中结论，可得答案．
考试点：函数奇偶性的性质；函数的周期性．
知识点：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的周期性，函数求值及函数解析式的求法，是函数的简单综合应用，难度中档．